Bài tập 12 trang 157 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác MNP có MN = MP. Gọi E là trung điểm của MN, F là trung điểm của MP. Gọi I là giao điểm của NF và PE. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta MEP = \Delta MFN\)

b) \(\Delta IEN = \Delta IFP\)

c) MI là phân giác của góc NMP.

d) EF // NP.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(ME = NE = {{MN} \over 2}\)  (F là trung điểm của MN)

\(MF = PF = {{MP} \over 2}\)  (F là trung điểm của NP)

Mà MN = MP (giả thiết) nên ME = NE = MF = PF.

Xét tam giác MEP và MFN có:

ME = MF (chứng minh trên)

\(\widehat {EMP}\)   là góc chung

MP = MN (giả thiết)

Do đó: \(\Delta MEP = \Delta MFN(c.g.c)\)

b)Ta có: \(\Delta MEP = \Delta MFN\)   (chứng minh câu a) \( \Rightarrow \widehat {MEP} = \widehat {MFN};\widehat {MPE} = \widehat {MNF}\)

\(\widehat {MEP} + \widehat {NEP} = \widehat {MFN} + \widehat {NFP}( = {180^0})\)

Mà \(\widehat {MEP} = \widehat {MFN}\)   (chứng minh trên) do đó: \(\widehat {NEP} = \widehat {NFP}.\)

Xét tam giác IEN và IFP có:

\(\widehat {IEN} = \widehat {IFP}\)   (chứng minh trên)

EN = EP (chứng minh câu a)

\(\widehat {ENI} = \widehat {FPI}(\Delta MEP = \Delta MFN)\)

Do đó: \(\Delta IEN = \Delta IFP(g.c.g)\)

c) Xét tam giác MIN và MIP có:

MI là cạnh chung

MN = MP (giả thiết)

NI = PI  \((\Delta IEN = \Delta IFP)\)

Do đó: \(\Delta MIN = \Delta MIP(c.c.c) \Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {IMP}\)

Vậy MI là tia phân giác của góc NMP.

d) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của MI với EF, NP.

Xét tam giác MHE và MHF có:

ME = MF

\(\widehat {HME} = \widehat {HMF}\)   (chứng minh trên)

MH là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta MHE = \Delta MHF(c.g.c) \Rightarrow \widehat {MHE} = \widehat {MHF}\)

Mà \(\widehat {MHE} + \widehat {MHF} = {180^0}\)   (kề bù) nên \(\widehat {MHE} + \widehat {MHE} = {180^0}\)

\( \Rightarrow 2\widehat {MHE} = {180^0} \Rightarrow \widehat {MHE} = {90^0} \Rightarrow MH \bot EFhayMK \bot EF\)

Xét tam giác MKN và MKP có:

MN = MP (gt)

\(\widehat {KMN} = \widehat {KMP}(cmt)\)

Mk là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta MKN = \Delta MKP(c.g.c) \Rightarrow \widehat {MKN} = \widehat {MKP}\)

Mà \(\widehat {MKN} + \widehat {MKP} = {180^0}\)   (kề bù) nên \(\widehat {MKN} + \widehat {MKN} = {180^0}.\)

\( \Rightarrow 2\widehat {MKN} = {180^0} \Rightarrow \widehat {MKN} = {90^0} \Rightarrow MK \bot NP\)

Ta có: \(EF \bot MK;NP \bot MK.\)   Vậy EF // NP.