Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;

b) Tổng \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau\((\Delta{ADI}\) và \(\Delta{CDL})\) từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

\(AD=CD\) (hai cạnh hình vuông)

\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) (cùng phụ với \(\widehat{CDI})\)

Do đó \(\Delta ADI=\Delta CDL\) (g.c.g)

\(\Rightarrow DI=DL\) ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy \(\Delta DIL\) cân tại D (đpcm).

b) Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).

Áp dụng hệ thức lượng \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\) trong tam giác vuông DKL, đường cao DC, ta có:

\(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) (mà \(DL=DI)\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)

Do ABCD cố định nên \(DC\) không đổi, do đó \(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) là không đổi.

Chú ý: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho gợi ý vẽ \(DL\perp DK\) thì ta vẫn phải kẻ thêm đường nét phụ \(DL\perp DK\) để có thể vận dụng hệ thức trên.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 3. Bảng lượng giác

Bài 4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 5. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024