Cho hình trụ có bán kính R và đường cao \(R\sqrt 2 \). Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.
a) Chứng minh ABCD là tứ diện đều.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).

Lời giải chi tiết

a) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng chứa đường tròn đáy có đường kính CD, khi đó A’, B’ nằm trên đường tròn đáy.

Ta có: \(A'B' \bot CD\) nên A’CB’D là hình vuông có đường chéo CD = 2R nên \(A'C = R\sqrt 2 ,\) mà \(AA' = R\sqrt 2 \) nên ta suy ra AC = 2R.

Tương tự AD = BC = BD = 2R. Vậy ABCD là tứ diện đều.

Cách khác:

Vì AB ⊥ CD nên ta chứng minh được ΔDBC cân tại B, suy ra BD = BC, tương tự ta có: AC=AD=BD=BC

Trong tam giác vuông OO’C có: BC²=O'B²+O'C²

Trong tam giác vuông O’OB có: O'B²=O'O²+OB²

Vậy BC²=O'O²+OB²+O'C²

= (R√2 )²+R²+R²=4R²

BC = 2R.

vậy tứ diện ABCD có 6 cạnh bằng nhau và bằng 2R nên nó là tứ diện đều. (đpcm)

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đường tròn đáy.
Ta có \(d\left( {OO',AC} \right) = d\left( {OO',\left( {AA'C} \right)} \right) = O'H\) (với H là trung điểm của A’C).

Vậy \(d = O'H = {{R\sqrt 2 } \over 2}.\)
Tương tự khoảng cách giữa mỗi đường thẳng BC, BD và OO’ đều bằng \({{R\sqrt 2 } \over 2}\).

Vậy các cạnh AC, AD, BC, BD đều tiếp xúc với mặt trụ có trục OO’ và bán kính \({{R\sqrt 2 } \over 2}\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

II. Câu hỏi trắc nghiệm

III. Một số đề kiểm tra

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024