Bài 6 trang 171 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác MNP vuông tại M. Trên tia đối của tia MN ta lấy điểm A sao cho MA = MP, trên tia đối của tia MP ta lấy điểm B sao cho MB = MN.

a) Chứng minh rằng \(\Delta MNP = \Delta MBA.\)

b) Các tam giác MAP và MBN là tam giác gì ? Vì sao ?

c) Kẻ \(MH \bot NP(H \in NP),\)  gọi K là giao điểm của đường thẳng MH với AB. Chứng minh rằng K là trung điểm của AB.

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác MNP và MBA ta có:

MN = MB (giả thiết)

\(\widehat {NMP} = \widehat {BMA}\)   (đối đỉnh)

MP = MA (giả thiết)

Do đó: \(\Delta MNP = \Delta MBA(c.g.c)\)

b) Ta có: \(\widehat {NMP} + \widehat {AMP} = {180^0}\)   (hai góc kề bù)

Do đó: \({90^0} + \widehat {AMP} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AMP} = {180^0} - {90^0} = {90^0}.\)

Tam giác MPA vuông tại M có: MA = MP (giả thiết)

Do đó tam giác MPA vuông cân tại M.

Tam giác MNB vuông tại M có: MB = MN (giả thiết)

Do đó: tam giác MNB vuông cân tại M.

c) \(\Delta MNP = \Delta MBA\)  (chứng minh câu a) \(\Rightarrow \widehat {MPN} = \widehat {MAB};\widehat {MNP} = \widehat {MBA}\)

Ta có: \(\widehat {MNH} + \widehat {NMH} = {90^0}(\Delta MNH\)  vuông tại H)

            \(\widehat {NMH} + \widehat {HMP} = {90^0}(\Delta MNP\)  vuông tại M).

Suy ra \(\widehat {MNH} = \widehat {HMP}\)

Mà \(\widehat {HMP} = \widehat {KMB}\)   (đối đỉnh) nên \(\widehat {MNH} = \widehat {KMB}.\)

Mặt khác \(\widehat {KBM} = \widehat {MNH}(cmt)\)

Do đó: \(\widehat {KBM} = \widehat {KMB} \Rightarrow \Delta KBM\)  cân tại K => KB = KM (1).

Ta có: \(\widehat {MPH} + \widehat {HMP} = {90^0}(\Delta MHP\)  vuông tại H)

            \(\widehat {NMH} + \widehat {HMP} = {90^0}(\Delta MNP\)  vuông tại M)

\(\Rightarrow \widehat {MPH} = \widehat {NMH}\)

Mà \(\widehat {NMH} = \widehat {KMA}\)   (đối đỉnh) nên \(\widehat {HPM} = \widehat {KMN}\)

Mặt khác \(\widehat {KAM} = \widehat {MPH}\)   (chứng minh trên)

Do đó: \(\widehat {KAM} = \widehat {KMA} \Rightarrow \Delta KAM\)  vuông cân tại K => KA = KM (2)

Từ (1) và (2) ta có: KB = KA. Vậy K là trung điểm của AB.