Bài 39 trang 123 sgk Toán 9 - tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(BC\), \(B\in (O),C\in (O').\) Tiếp tuyến chung trong tại \(A\) cắt tiếp tuyến chung ngoài \(BC\) ở \(I\).

a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\).

b) Tính số đo góc \(OIO'\). 

c) Tính độ dài \(BC\), biết \(OA=9cm,\ O'A=4cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) +) Đường tròn \((O)\) có hai tiếp tuyến \(AB,\ AC\) lần lượt tại \(B,\ C\) thì \(AB=AC\).

+) Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông.

b) + Đường tròn \((O)\) có hai tiếp tuyến \(AB,\ AC\) lần lượt tại \(B,\ C\) thì \(AO\) là tia phân giác của góc \(BAC\). 

+) Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.

c) Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\) có tiếp tuyến chung là đường thẳng \(d\) thì \(d \bot OO'\) tại \(A\).

+) Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) thì \(AH^2=BH.CH\).

Lời giải chi tiết

a)

Xét đường tròn \((O)\) có \(IB,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(B,\ A\)

\(\Rightarrow IB=IA\) (1); \(IO\) là tia phân giác của góc \(BIA \Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (2)

Xét đường tròn \((O')\) có \(IC,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(C,\ A\)

\(\Rightarrow IC=IA\) (3); \(IO'\) là tia phân giác của góc \(CIA \Rightarrow \widehat{I_3}=\widehat{I_4}\) (4)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow IB=IC=IA=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow \Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) (tam giác có đường trung tuyến AI ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông) 

\(\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}\).

b) Cách 1:

Ta có: \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_4}=180^o\) (5)

Từ (2), (3), (5) \(\Leftrightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_3}=180^o\)

\(\Leftrightarrow 2\widehat{I_2}+2\widehat{I_3}=180^o\)

\(\Leftrightarrow 2(\widehat{I_2}+\widehat{I_3})=180^o\)

\(\Leftrightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_3}=90^o\)

\(\Leftrightarrow \widehat{OIO'}=90^o\)

Cách 2:  

Vì góc \(BIA\) và góc \(AIC\) là hai góc kề bù

Suy ra \(\widehat{OIO'}=90^{\circ}\) (hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).

c) Vì \(IA\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên \(IA \bot OO'\).

Xét tam giác \(OIO'\) vuông tại \(I\) có \(IA\) là đường cao, áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:

\(AI^2=AO.AO' \Rightarrow AI^2=9.4=36\)

\(\Rightarrow AI= \sqrt{36}=6 cm\)

Từ câu a, ta có \(AI=\dfrac{BC}{2} \Rightarrow BC=2.AI=2.6=12cm\)

Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi.