Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số
Bài 2. Cực trị của hàm số
Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 4. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
Bài 5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số đa thức
Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của một số hàm phân thức hữu tỉ
Bài 8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị
Câu hỏi và bài tập chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Bài tập trắc nghiệm khách quan chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Toán 12 Nâng cao
Bài 1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Bài 2. Lũy thừa với số mũ thực
Bài 3. Lôgarit
Bài 4. Số e và loogarit tự nhiên
Bài 5. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 6. Hàm số lũy thừa
Bài 7. Phương trình mũ và lôgarit
Bài 8. Hệ phương trình mũ và lôgarit
Bài 9. Bất phương trình mũ và lôgarit
Ôn tập chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài tập trắc nghiệm khách quan chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Toán 12 Nâng cao
Bài 1. Nguyên hàm
Bài 2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
Bài 3. Tích phân
Bài 4. Một số phương pháp tích phân
Bài 5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Bài 6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Ôn tập chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Bài tập trắc nghiệm khách quan chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Toán 12 Nâng cao
Cho các số phức \({\rm{w}}= {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 + i} \right)\) và \(\varepsilon = {1 \over 2}\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)\)
LG a
Chứng minh rằng \({z_o} = \cos {\pi \over {12}} + i\sin {\pi \over {12}},\,{z_1} = {z_o}\varepsilon ,\) \({z_2} = {z_o}{\varepsilon ^2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^3} - {\rm{w}} = 0;\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(w = \cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}\)
\(\eqalign{ & \varepsilon = \cos {{2\pi } \over 3} + i\sin {{2\pi } \over 3}\cr & \Rightarrow {\varepsilon ^3} = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1 \cr & z_o^3 = {\left( {\cos {\pi \over {12}} + i\sin {\pi \over {12}}} \right)^3} \cr &= \cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4} ={\rm{w}} \cr & z_1^3 = {\left( {{z_o}\varepsilon } \right)^3} = z_o^3.{\varepsilon ^3} = {\rm{w}} \,\,\left( {\text{vì}\,\,\,{\varepsilon ^3} = 1} \right), \cr & z_2^3 = {\left( {z_o{\varepsilon ^2}} \right)^3} = z_o^3{\varepsilon ^6} = z_o^3 ={\rm{w}}\cr} \)
Do đó các số phức \({z_0},{z_0}\varepsilon ,{z_0}{\varepsilon ^2}\) đều là nghiệm của phương trình \(z^3-w=0\).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}{z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\\ \Rightarrow z_0^3 = \cos \dfrac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{{12}}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 + i} \right) = w\\ \Rightarrow z_0^3 = w \Rightarrow z_0^3 - w = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow {z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\) là nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).
\(\begin{array}{l}\varepsilon = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right) = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\\ = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\\{z_0} = \cos \dfrac{\pi }{{12}} + i\sin \dfrac{\pi }{{12}}\\ \Rightarrow {z_1} = {z_0}\varepsilon \\ = \cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right)\\ = \cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}\\ \Rightarrow z_1^3 = \cos \dfrac{{9\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{9\pi }}{4}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = w\\ \Rightarrow z_1^3 - w = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow {z_1} = {z_0}\varepsilon \) là một nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).
\(\begin{array}{l}\varepsilon = \cos \dfrac{{2\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{2\pi }}{3}\\ \Rightarrow {\varepsilon ^2} = \cos \dfrac{{4\pi }}{3} + i\sin \dfrac{{4\pi }}{3}\\ \Rightarrow {z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\\ = \cos \left( {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{4\pi }}{3}} \right)\\ = \cos \dfrac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \dfrac{{17\pi }}{{12}}\\ \Rightarrow z_2^3 = \cos \dfrac{{17\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{17\pi }}{4}\\ = \cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}\\ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + i.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = w\\ \Rightarrow z_2^3 - w = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow {z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\) là một nghiệm của phương trình \({z^3} - w = 0\).
LG b
Biểu diễn hình học các số phức \({z_o},\,{z_1},\,{z_2}\)
Lời giải chi tiết:
Biểu diễn: Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn \({z_0},\,\,{z_1},\,\,{z_2}\)
\(\begin{array}{l}
{z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\\
{z_1} = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}\\
{z_2} = \cos \frac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{17\pi }}{{12}}
\end{array}\)
Nhận xét: A,B,C tạo thành một tam giác đều.
Chương 5. Đại cương về kim loại
Chương 2. Tính quy luật của hiện tượng di truyền
CHƯƠNG VIII. TỪ VI MÔ ĐẾN VĨ MÔ
Unit 6: Future Jobs - Việc Làm Tương Lai
ĐỊA LÍ DÂN CƯ