Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b

Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
LG a
LG b

LG a

a) Tính thể tích khối tứ diện \(A'BB'C\).

Phương pháp giải:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\). Chứng minh \(A'M \bot \left( {BCC'B'} \right)\). Áp dụng công thức \({V_{A'BB'C}} = \dfrac{1}{3}A'M.{S_{BB'C}}\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta tính thể tích hình chóp \(\displaystyle A'.BCB'\).

Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle B'C'\), ta có: \(\displaystyle A'M \bot B'C'\)       (1)

Lăng trụ \(\displaystyle ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên:

\(\displaystyle BB' \bot (A'B'C') \Rightarrow BB' \bot A'M\)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle A'M \bot (BB'C')\) hay \(\displaystyle A'M\) là đường cao của hình chóp \(\displaystyle A'.BCB'\).

Ta có: \(\displaystyle A'M\) = \(\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2};{S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}}\) \( \Rightarrow {V_{A'BB'C}} =\displaystyle {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Cách khác:

Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp \(A’.ABC, C.A’B’C’\) và \(C.A’BB’\)

Ta có: \({V_{A'.ABC}} = {V_{A'B'C'}} =\displaystyle \frac{1}{3}Sh\) trong đó \(S\) là diện tích đáy \(S = {\rm{ }}{S_{ABC\;}} = {\rm{ }}{S_{ABC}}\) và \(h\) là chiều cao của hình lăng trụ

Lại có: \({V_{ABC.ABC}}\; = {\rm{ }}S.h\)

Do đó, \({V_{C.A'B'B}} =\displaystyle Sh - \frac{1}{3}Sh - \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh\)

Trong đó, tam giác \(ABC\) là tam giác đều có độ dài cạnh bằng \(a\) nên \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vì đây là hình lăng trụ đứng nên \(h = AA’ = BB’= CC’ = a.\)

Vậy thể tích hình chóp \(C.A’BB’\) là:

\({V_{C.A'B'B}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

LG b

b) Mặt phẳng đi qua \(A'B'\) và trọng tâm tam giác \(ABC\), cắt \(AC\) và \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Tính thể tích hình chóp \(C.A'B'FE\).

Phương pháp giải:

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện: \(V = {V_{B'.CEF}} + {V_{B'.A'EC}} = {V_1} + {V_2}\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình chóp \(\displaystyle C.A'B'EF\) bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- \(\displaystyle V_1\) là thể tích hình chóp đỉnh \(\displaystyle B'\), đáy là tam giác \(\displaystyle CEF\).

- \(\displaystyle V_2\) là thể tích hình chóp đỉnh \(\displaystyle B'\), đáy là tam giác \(\displaystyle A'EC\).

Do \(\displaystyle (ABC) // (A'B'C')\) nên dễ thấy \(\displaystyle EF // AB\). Ta cũng có: \(\displaystyle EF\) = \(\displaystyle {2 \over 3}a\)

Hình chóp \(\displaystyle B'.CEF\) có chiều cao \(\displaystyle BB' = a\) và diện tích đáy là: \(\displaystyle {S_{C{\rm{EF}}}}=\frac{1}{2}EF.CG = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}\)

Từ đây ta có: \(\displaystyle {V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}\)

Do \(\displaystyle EC = {2 \over 3}AC\) nên \(\displaystyle {S_{A'BE}} = \frac{1}{2}A'A.EC = \frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^2}}}{3}\)

Gọi \(\displaystyle I\) là trung điểm của \(\displaystyle A'C'\) ta có: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}B'I \bot A'C\\B'I \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'I \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow B'I \bot \left( {A'EC} \right)\)

Hình chóp \(\displaystyle B'.A'EC\) có chiều cao là \(\displaystyle B'I\) bằng \(\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}\) nên \(\displaystyle {V_2} = \frac{1}{3}.B'I.{S_{A'EC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Vậy thể tích hình chóp \(\displaystyle C.A'B'FE\) là: \(\displaystyle V = V_1 + V_2\) = \(\displaystyle {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\)

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved