Đề thi chọn HSG QG THPT năm học 2023-2024 môn Toán

Trích dẫn Đề thi chọn HSG QG THPT năm học 2023-2024 môn Toán

Câu 1 (5,0 điểm) Với mỗi số thực x, ta gọi [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Với mỗi số thực $x,$ $[x]$ Cho dãy số $\{a_n\}^\infty_{n=1}$ xác định bởi: $a_n=\frac1{4^{[-log_4n]}},\forall n\geq1.$ Đặt $b_n=\frac1{n^2}(\sum^n_{k=1}a_k-\frac1{a_1+a_2}),\forall n\geq1.$ a) Tìm một đa thức P(x) với hệ số thực sao cho a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P(\frac{a_n}n),\forall n\geq1.$ b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $\{n_k\}^\infty_{k=1}$ tăng thực sự sao cho $\lim_{k\rightarrow\infty}b_{n_k}=\frac{2024}{2025}.$ Câu 2 (5,0 điểm) Tìm tất cả các đa thức P(x), Q(x) với hệ số thực sao cho với mỗi số thực a ttì Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực sao cho với mỗi số thực a thì $P(a)$ là nghiệm của phương trình: $x^{2023}+Q(a).x^2+(a^{2024}+a)x+a^3+2025a=0.$ Câu 3 (5,0 điểm) Cho ABC là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi A' là tâm của đường tròn đi qua C và tiếp xúc AB tại A, gọi B' là tâm của đường tròn đi qu A và tiếp xúc BC tại B, gọi C' là tâm đường tròn đi qua B và tiếp xúc CA tại C. a) Chứng minh rằng diện tích tam giác A'B'C' lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác ABC b) Gọi ,,Y,Z lần ưượ ll hình chiếuuvuônggggóccủủ lên các ường thẳng ABB,BBBCC,CC'A'. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ lần lượt cắt lại các đường thẳng A'B',B'C',C'A' tại các điểm $X^\prime,Y^\prime,Z^\prime(X^\prime\ne X,Y^\prime\ne Y,Z^\prime\ne Z).$ Chứng minh rằng các đường thẳng AX',BY,,CZ' đồng quy. Câu 4 (5,0 điểm) Người ta xếp k viên bi vào các ô của một bảng 20244x 2024 ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh). a) Cho $k=2024.$ Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên. b) Tìm giá trị lớn nhất sao cho vớii mọi cách ếế k viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.