giupp voii aaa

Câu 12. Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=1$ và khoảng cách $d=2$. Để tìm giá trị của $u_{15}$, ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n - 1)d \] Áp dụng vào bài toán này: \[ u_{15} = u_1 + (15 - 1)d \] \[ u_{15} = 1 + 14 \times 2 \] \[ u_{15} = 1 + 28 \] \[ u_{15} = 29 \] Vậy giá trị của $u_{15}$ là 29. Đáp án đúng là: B. 29. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (C) đi qua điểm \( A(0; -\frac{7}{3}) \). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{1}{8} (3x^2 - 6x - 9) = \frac{3}{8}(x^2 - 2x - 3) \] 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm \( y' \): \[ y' = \frac{3}{8}(x^2 - 2x - 3) \] Đạo hàm của \( y' \): \[ y'' = \frac{3}{8} (2x - 2) = \frac{3}{4}(x - 1) \] Đặt \( y'' = 0 \): \[ \frac{3}{4}(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1 \] Tại \( x = 1 \), ta có: \[ y'(1) = \frac{3}{8}(1^2 - 2 \cdot 1 - 3) = \frac{3}{8}(-4) = -\frac{3}{2} \] 3. Tìm tọa độ điểm trên đồ thị (C) có \( x = 1 \): \[ y(1) = \frac{1}{8}(1^3 - 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 - 5) = \frac{1}{8}(1 - 3 - 9 - 5) = \frac{1}{8}(-16) = -2 \] Do đó, điểm trên đồ thị là \( (1, -2) \). 4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (1, -2) \) với hệ số góc \( -\frac{3}{2} \): \[ y + 2 = -\frac{3}{2}(x - 1) \] \[ y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} - 2 \] \[ y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \] b) Trên đoạn \( [4; 8] \), giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại \( x = 4 \). 1. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn \( [4; 8] \): \[ y(4) = \frac{1}{8}(4^3 - 3 \cdot 4^2 - 9 \cdot 4 - 5) = \frac{1}{8}(64 - 48 - 36 - 5) = \frac{1}{8}(-25) = -\frac{25}{8} \] \[ y(8) = \frac{1}{8}(8^3 - 3 \cdot 8^2 - 9 \cdot 8 - 5) = \frac{1}{8}(512 - 192 - 72 - 5) = \frac{1}{8}(243) = \frac{243}{8} \] 2. So sánh các giá trị: \[ y(4) = -\frac{25}{8} \] \[ y(8) = \frac{243}{8} \] Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \( [4; 8] \) là \( \frac{243}{8} \), đạt được tại \( x = 8 \). c) Tâm đối xứng của đồ thị có tọa độ là \( (1, -2) \). 1. Kiểm tra tâm đối xứng: Hàm số \( y = \frac{1}{8}(x^3 - 3x^2 - 9x - 5) \) có tâm đối xứng tại \( (1, -2) \) nếu thay \( x = 1 + t \) và \( y = -2 + k \) vào phương trình hàm số, ta nhận được một hàm chẵn về \( t \). 2. Thay \( x = 1 + t \) và \( y = -2 + k \): \[ -2 + k = \frac{1}{8}((1 + t)^3 - 3(1 + t)^2 - 9(1 + t) - 5) \] \[ -2 + k = \frac{1}{8}(1 + 3t + 3t^2 + t^3 - 3 - 6t - 3t^2 - 9 - 9t - 5) \] \[ -2 + k = \frac{1}{8}(t^3 - 12t - 16) \] \[ k = \frac{1}{8}(t^3 - 12t) \] Phương trình này là một hàm chẵn về \( t \), do đó tâm đối xứng của đồ thị là \( (1, -2) \). d) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị. 1. Tìm điểm cực trị: \[ y' = \frac{3}{8}(x^2 - 2x - 3) \] Đặt \( y' = 0 \): \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] 2. Kiểm tra tính chất cực trị: \[ y'' = \frac{3}{4}(x - 1) \] Tại \( x = 3 \): \[ y''(3) = \frac{3}{4}(3 - 1) = \frac{3}{2} > 0 \] Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = \frac{3}{4}(-1 - 1) = -\frac{3}{2} < 0 \] Do đó, \( x = 3 \) là điểm cực tiểu và \( x = -1 \) là điểm cực đại. Kết luận: a) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (C) đi qua điểm \( A(0; -\frac{7}{3}) \) là \( y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \). b) Trên đoạn \( [4; 8] \), giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại \( x = 8 \). c) Tâm đối xứng của đồ thị có tọa độ là \( (1, -2) \). d) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một. a) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-3)$ và $(-1;+\infty).$ Để xác định tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$. $f'(x) = \frac{(2ax + b)(mx + n) - (ax^2 + bx + c)m}{(mx + n)^2}$ Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-3)$ và $(-1;+\infty)$. Do đó, phần này đúng. b) $f(2024) < f(2025).$ Vì hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty)$, nên $f(2024) < f(2025)$. Phần này đúng. c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: $x=-3$ và đường tiệm cận xiên: $y=x+1.$ Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là $mx + n = 0$. Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận đứng là $x = -3$, do đó $m(-3) + n = 0$. Đường tiệm cận xiên là $y = x + 1$. Để xác định đường tiệm cận xiên, ta cần tìm giới hạn của $\frac{f(x)}{x}$ khi $x$ tiến đến vô cùng: $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{mx^2 + nx} = \frac{a}{m}$ Và $\lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} - x\right) = \frac{b}{m} - \frac{n}{m}$ Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận xiên là $y = x + 1$, do đó $\frac{a}{m} = 1$ và $\frac{b}{m} - \frac{n}{m} = 1$. Phần này đúng. d) Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(2; \frac{13}{4})$. Để kiểm tra, ta thay $x = 2$ vào hàm số và kiểm tra xem $y$ có bằng $\frac{13}{4}$ hay không: $f(2) = \frac{a(2)^2 + b(2) + c}{m(2) + n} = \frac{4a + 2b + c}{2m + n}$ Từ đồ thị, ta thấy hàm số đi qua điểm $A(2; \frac{13}{4})$, do đó $\frac{4a + 2b + c}{2m + n} = \frac{13}{4}$. Phần này đúng. Kết luận: Cả bốn phần đều đúng. Câu 3. a) Tọa độ điểm A là $(4;0;0).$ - Điểm A nằm trên trục Ox, vì vậy tọa độ y và z của nó đều bằng 0. Do đó, tọa độ của điểm A là $(4;0;0).$ b) $\overrightarrow{OQ}=(2;5;4).$ - Điểm Q có tọa độ $(2;5;4).$ - Vector $\overrightarrow{OQ}$ từ gốc tọa độ O đến điểm Q sẽ có các thành phần là các tọa độ của điểm Q. Do đó, $\overrightarrow{OQ}=(2;5;4).$ c) Tọa độ $\overrightarrow{AH}=(4;5;3).$ - Điểm A có tọa độ $(4;0;0).$ - Điểm H có tọa độ $(4;5;3).$ - Vector $\overrightarrow{AH}$ từ điểm A đến điểm H sẽ có các thành phần là hiệu giữa các tọa độ tương ứng của điểm H và điểm A. Do đó, $\overrightarrow{AH}=(4-4;5-0;3-0)=(0;5;3).$ Đáp số: a) Tọa độ điểm A là $(4;0;0).$ b) $\overrightarrow{OQ}=(2;5;4).$ c) Tọa độ $\overrightarrow{AH}=(0;5;3).$