Tìm các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn: $ ^{^{^{^{^{^{^{^{^{^{^{x^3+y^3+1=6xy}}}}}}}}}}} $

Để tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình \(x^3 + y^3 + 1 = 6xy\), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét phương trình \(x^3 + y^3 + 1 = 6xy\). Bước 2: Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng tổng ba bình phương. Ta sẽ thử các giá trị nhỏ của x và y để tìm các cặp số nguyên thỏa mãn. Bước 3: Thử các giá trị nhỏ của x và y: - Nếu \(x = 0\): \[ 0^3 + y^3 + 1 = 6 \cdot 0 \cdot y \implies y^3 + 1 = 0 \implies y^3 = -1 \implies y = -1 \] Vậy ta có cặp số nguyên (0; -1). - Nếu \(y = 0\): \[ x^3 + 0^3 + 1 = 6 \cdot x \cdot 0 \implies x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1 \implies x = -1 \] Vậy ta có cặp số nguyên (-1; 0). - Nếu \(x = 1\): \[ 1^3 + y^3 + 1 = 6 \cdot 1 \cdot y \implies 1 + y^3 + 1 = 6y \implies y^3 + 2 = 6y \implies y^3 - 6y + 2 = 0 \] Ta thử các giá trị nhỏ của y: - Nếu \(y = 1\): \[ 1^3 - 6 \cdot 1 + 2 = 1 - 6 + 2 = -3 \neq 0 \] - Nếu \(y = 2\): \[ 2^3 - 6 \cdot 2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \neq 0 \] - Nếu \(y = -1\): \[ (-1)^3 - 6 \cdot (-1) + 2 = -1 + 6 + 2 = 7 \neq 0 \] - Nếu \(y = -2\): \[ (-2)^3 - 6 \cdot (-2) + 2 = -8 + 12 + 2 = 6 \neq 0 \] - Nếu \(y = 1\): \[ x^3 + 1^3 + 1 = 6 \cdot x \cdot 1 \implies x^3 + 1 + 1 = 6x \implies x^3 + 2 = 6x \implies x^3 - 6x + 2 = 0 \] Ta thử các giá trị nhỏ của x: - Nếu \(x = 1\): \[ 1^3 - 6 \cdot 1 + 2 = 1 - 6 + 2 = -3 \neq 0 \] - Nếu \(x = 2\): \[ 2^3 - 6 \cdot 2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \neq 0 \] - Nếu \(x = -1\): \[ (-1)^3 - 6 \cdot (-1) + 2 = -1 + 6 + 2 = 7 \neq 0 \] - Nếu \(x = -2\): \[ (-2)^3 - 6 \cdot (-2) + 2 = -8 + 12 + 2 = 6 \neq 0 \] Bước 4: Kết luận các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: \[ (x; y) = (0; -1) \text{ và } (-1; 0) \] Đáp số: (0; -1) và (-1; 0).